Tema: Series y Sucesiones numéricas.
Curso: 4to. año

El siguiente ejercicio es para introducirlos en el tema. El problema fue propuesto por la cátedra de “PERSPECTIVAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA” del Postítulo de Tics e Matemática para resolver problemas del álgebra. Pero al ser una serie, permite utilizarlo también en series y sucesiones. Es decir dependiendo de los conocimientos previos, es posible utilizarlo en los diferentes niveles de la enseñanza.

Este tipo problemas en matemática son muy valiosos, ya que algunos puede comprender “cómo resolverlos” y otros “cómo fue resuelto”. Citando a Anijovich R. “… Posibilita la autoevaluación y la reflexión, para que el alumno pueda pensar tanto de los procesos como en el producto de su aprendizaje…” (pag. 52, Gestionar una escuela con aulas heterogéneas).

Por último el lugar que ocupa el docente es el de crear el clima para que los alumnos experimentes, indaguen y asuman su responsabilidad sobre la resolución del ejercicio. En este caso la función del docente es guiar y asistir cuando así lo requieran en la intervención de un grupo. Luego es necesario coordinar la puesta en común y ordenar todos los contenidos que fueron surgiendo en la clase.

  

Objetivos:

-       Que los estudiantes puedan elegir la forma de resolución de acuerdo a sus conocimientos actuales.

-       Promover el trabajo grupal y la colaboración entre sus integrantes.

-       Arribar a resultados relacionado con la problemática a partir del debate, el intercambio de posibles soluciones, con el fin de tomar posiciones responsables y proponer soluciones.

-       Promover el uso responsable de la tecnología.

-       Promover la autoevaluación y la evaluación grupal.

Objetivos del área:

-Analizar qué sucede cuando el número determinados tiende a infinito siguiendo un determinado  patrón de repetición.

- Hallar la fórmula que permite calcular las posiciones.

- Hacer cálculos matemáticos básicos.

Se les presenta el siguiente enunciado:

Se escribieron los números naturales en filas y columnas de la siguiente manera:

Sabiendo que:

En la fila 1, columna 1 el número es 1

En la fila 2, columna 2 el número es 3

En la fila 3, columna 3 el número es 7

En la fila 4, columna 4 el número es 13

¿Qué número se ubica en la fila 2016, columna 2016?

Hacer un afiche con los cálculos que se hicieron para hallar el resultado.

Se propone la siguiente forma de trabajo:

El grupo de clase se los divide en subgrupo 3 o 4 alumnos. Opino que la elección de los compañeros de grupo se tiene que dar espontáneamente. En 4to. Año ellos se conocen y saben con quienes trabajar, se sentirán a gusto y no se sentirán expuestos.

Posibles modos de resolución por parte del alumno:

Al trabajar libremente en hallar la solución del problema les damos autonomía para solucionarlo como ellos quieran, los alumnos cooperando cada una en su grupo puede elegir la forma de trabajar, de acuerdo a los conocimientos previos con que cuente cada uno. Si bien  no se puede observar en todo momento a cada uno de los estudiantes, es necesario recorrer el aula y monitorear el trabajo de cada grupo y guiarlos de acuerdo a su forma de trabajo si ellos lo desean.

- Comenzarán con el cálculo de 2016*2016, y darán por sentado que 4064256 es el resultado, la pregunta que le hará el docente en este caso es si ¿funciona este método para la fila 4 y la columna 4?.¿Quieres probar con alguna otra intersección?

- Otros intentará escribir la secuencia hasta el 2016, pero verán que es imposible resolverlo de esa manera, mientras que otros los corrigen diciendo que no es el número 2016 sino la fila y la columna.

- Pueden haber problemas en cuanto a la interpretación del resultado que deben obtener.

- Puede que en esta instancia mucho de los alumnos no quieran trabajar ya que consideran que es muy difícil.

Podemos intervenir invitándolos a que participen y trabajen con su grupo como si fuese un juego, no un ejercicio de matemática.

- En este punto puede que los ayudemos a que comprendan las consignas. Sin embargo algunos comenzaran a cuestionarse sobre las mismas, por ejemplo:

¿Son todos los números de la fila 2016 y de la columna 2016?

- Otros contestaran que de ser así lo hubiesen preguntado en plural (números) pero la consigna busca el número (singular) por lo tanto preguntarán si es la intersección de la fila 2016 y columna 2016. A otros alumnos puede que debamos explicarle en forma verbal el enunciado.

- Las respuestas se sociabilizará para todos los alumnos de todos los grupos.

La consigna atiende a una cuestión gráfica, los estudiantes deben analizar la gráfica y la disposición de los números en la misma, por eso en caso de ser necesario algún alumno o el docente debe verbalizar cual debe ser resultado final, en este caso la intersección de la fila y columna 2016. La verbalización de las consignas es importante para algunos alumnos que necesitan de esa herramienta para reforzar sus ideas o la seguridad de haberla comprendido. Es una buena forma de acompañar a cada uno en sus necesidades específicas. Podemos ayudar grupo a grupo para que el problema sea entendidos, también puede que suceda que  de la interpretación del enunciado se sociabilice espontáneamente entre todos los compañeros de la clase, este caso será el ideal.

Situaciones de formulación:

- Comenzarán a observar los números que se encuentran en las intersecciones de la misma fila y columna (1,1 ; 2,2 ; 3,3 ;…; n,n). Al darse cuenta que no es posible escribir hasta la fila y columna 2016, se darán por vencidos. En estos casos podemos orientarlos o sugerirle que lo hagan para alguna intersección por ejemplo (5,5 o 10 ,10) o sea más cercano a los valores que representaron.

Los alumnos que no tiene trabajo previo con expresiones algebraicas harán cálculos ordenados pensando en filas y columnas, por ejemplo:

2* 2= 4

3* 3= 9

4* 4=16

y verán que no son los valores que se encuentran en las intersecciones por lo tanto indagarán cuanto le falta o le sobra para llegar a ese número, por ejemplo:

2* 2= 4 y por lo tanto sobra 1

3* 3= 9  y por lo tanto sobra 2

4* 4=16 y por lo tanto sobra 3

y que el 1 es (2-1), el 2 es (3-1) y el 3 es (4-1)

Por lo tanto puede concluirse que

2016*2016=4064256 y a este resultado le resta (2016-1)=2015 entonces 4064256  - 2015 = 4062241 es el numero correcto.

Por lo tanto llegamos a la etapa de validación, les podemos pedir que por ejemplo comprueben calculándolo para la fila 10 y la columna 10 para saber si realmente funciona. En ese caso verán que sí es correcta la forma de calcularlo.

También debemos pedirles que validen ese resultado con otras posiciones de la grilla por ejemplo 5*5 - (5-1).

Al usar las calculadoras puede que ocurran que los resultados son diferentes cuando escriben 5*5-5-1. En ese caso debemos proponerles que escriban el cálculo y revean los resultados.

Al colgar los afiche con las diferentes formas de resolverlo podemos recoger todos los conocimientos y los ordenarlos para analizarlos.

Podemos introducir el concepto de fila, columna y la relación entre ellas en pares ordenados para representar una posición dentro de la grilla.

También arribamos a la conclusión de que para expresar el resultado de una intersección determinada lo podemos hacer uniendo las dos operaciones por ejemplo (la multiplicación de 5*5 y luego la resta de (5-1) entonces: 5*5-(5-1) y la utilización de paréntesis para escribirlo y la diferencia en no usarlos, en todo caso explicamos cómo se escribe el cálculo en las calculadoras científicas.

También se puede institucionalizar como se usó la calculadora, porqué son necesarios las paréntesis, donde se encuentran y como usarlos.

Bibliografía Utilizada:

-       Rebeca Anijovich y Graciela Cappelletti.(2017). Clase 3. Enfoques de enseñanza: enseñanza para la comprensión II. Didáctica General II. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

-       Anijovich, R. (2014). El diseño de la enseñanza en aulas heterogéneas. En Anijovich, R., Cappelletti, G. y C. Cancio (colaboradoras). Gestionar una escuela con aulas heterogéneas. Enseñar y aprender en la diversidad (pp. 39 – 58). Buenos Aires: Paidós. Recuperado de la clase 3